Может ли должность директора существовать без подчинённых?

Да, может.

Я лично являюсь директором в своей фирме в единственном числе. У меня нет подчиненных работников в штате. Я сама занимаюсь всеми официальными вопросами.

А если мне вдруг понадобится специалист для выполнения какой-то конкретной временной работы (к примеру бухгалтер, аудитор, технический специалист, водитель, да и вообще, кто угодно), то при необходимости я могу его нанять по гражданско-правовому договору (или просто так попросить об услуге, без оформления документов), не принимая на работу и не вводя в штат.

Конечно может. Даже на одного сотрудника, в данном случае директора, составляется весь комплект документов: штатное расписание, приказ о приеме или назначении на должность, приказ о возложении обязанностей гл. бухгалтера, специалиста по кадрам.

Такое сплошь и рядом происходит. Такие фирмы-пустышки плодятся, как грибы после дождя. Еще и отчитываются в Налоговую инспекцию, как не ведущие финансово-хозяйственную деятельность. Не совсем понятно, зачем это надо, но, видимо, надо.

Конечно может. Достаточно зарегистрироваться в качестве предпринимателя. И назначить себя директором. Равно как и на все другие должности. Главное платить налоги государству. А будет работать фирма или нет не важно.