Мидраши, кто они такие, в чем особенность культуры?

Мидраши - это не кто, а в любом случае что.

У иудеев мидраш - это жанр иудейской религиозной (раввинистической) традиции, литературный жанр сходный с проповедью, посвящённой толкованию Торы. Собрание мидрашей является частью Устной Торы.

У караимов мидраш - начальная религиозная школа, в которой обучались древнееврейскому языку и изучению Торы (то есть Пятикнижия Моисеева). У евреев тоже был похожий тип школ, но он назывался хедер.

С какой стороны ни посмотри, "мидрашами" могли называть лишь тех людей, которые имели отношения к одному из упомянутых понятий. В любом случае такое перенесение названий с объектов на людей, к ним причастным, говорило бы лишь об их роде занятий, а не об их этническом происхождении.