Когда возник институт папства в католицизме?

Начало образования института папства следует отнести к началу IV века и первым папой, которого можно было так назвать был Мильтиад. Это можно считать и началом централизации католической церкви и борьбы за признание главенства Рима. До 4- но века папой собственно назывался не только епископ, но и любой священник, имеющий право благословения. Далее папа избирался епископами, а затем конклавом кардиналов. Папство переживало и взлеты и падения. Окончательно институт папства сформировался пожалуй в начале XI века в связи с реформами пап Льва IX и Григория VII

Институт папства возник еще до католицизма (в нынешнем понимании). По сути, с первого римского епископа (Апостола Петра или Лина (апостола от 70-ти) - по другим источникам). Католичество в переводе означает "вселенскость" и церковь всегда считала себя вселенской, что до Раскола, что после. Нынешнее католичество формально возникло после 1054 года (хотя раскол окончательно оформился намного позже, хотя масса разногласий с православием, наоборот, была уже очень давно). Папы к этому моменту уже более-менее благополучно (некоторые пострадали от римских гонений, например) правили Римской церковью более 10 веков.