Когда и на каких основаниях русским принадлежала Калифорния?

Принадлежала - это сильно сказано. Были русские поселения, в основном от Русско-Американской Компании. После двух экспедиций Ивана Кускова в 1812 году был основан город Форт-Росс. В 1841 году его продали гражданину США. Причина потери поселений в Калифорнии, как и Аляски было две. Первое: Русско-Американская Компания медленно, но верно разорялась, работала в убыток. Второе: американцы проводили усиленную экспансию на запад, а сил для удержания территорий просто не было. Поэтому продажа в данной ситуации являлась оптимальным выходом - все равно терять, так хоть не даром.