Какие задачи решают системные и прикладные программисты?

Считается, что системные программисты разрабатывают средства, среды программирования для прикладной разработки.

Прикладные программисты разрабатывают программные решения для конечных пользователей с использованием средств и сред, созданных системными программистами.

Разница сейчас достаточно условная, т.к. в современном программировании некоторые вопросы взаимосвязаны. Прикладник может при разработке "влезть" глубоко в систему (разрабатывая средства шифрования и защиты, например, в рамках своего конечного программного продукта). Системщик же, разрабатывающий систему для обслуживания предприятия, занимается по сути прикладным программированием, несмотря на создание нового системного средства -- пользователями его творчества будут конечные пользователи.