Как вывести формулу «H=Vot+gt^2/2» с помощью дифференциального уравнения?

Никак, потому что она неверная :). Перед gt?/2 должен стоять знак "минус".

Ну а вообще такая формула выводится из дифференциального уравнения движения при действии постоянной силы (второй закон Ньютона) и того факта, что ускорение есть вторая производная от координаты, откуда сразу получаем само уравнение: d?x/dt? = const ? a (ускорению). Если его переписать как d?x/dt? - а = 0, то получаем простейшее однородное дифференциальное уравнение второго порядка (вторая производная равна константе), очевидным решением которого будет полином второй степени от t вида x(t) = at?/2 + bt + c, где b и с - константы, определяемые из начальных условий (скорость и координата в момент t=0). Тот простой факт, что v(0) = Vo и x(0)=0, как раз и даёт ту самую формулу, которую требуется вывести.