Как сохранить достижения и изменения в Андроид игре после её удаления?

Самый легкий способ на Android - сделать привязку игрового аккаунта к своей учетной записи example@gmail.com . Обязательна должна быть синхронизация (обычно, если нет синхронизации с аккаунтом gmail, то появляется уведомление об этом). При удалении игры, достижения ваши не удаляться. Они будут привязаны к вашей учетной записи. Этим же способом можно создать множество аккаунтов в различных играх (если есть нужда).

Так же, в некоторых играх, привязку можно сделать к Google+ / Facebook и др. Какой способ выбрать - зависит все от вас. При этом, чтобы вернуть свои достижения, вам всего-то нужно будет войти в свою учетную запись (смотря что вы выбрали) и все, все готово.