Как разрабатывать widgets на Javascript?

Windget - чаще всего это ограниченный конкретной функцональностью визуальный информационный блок.

Многое зависит от того, как будет интегрироваться этот блок. Например vk интегрирует свой iframe в пользовательский блок.

Конкретно как - так же как и любой функционал сайта, только с одним отличием, он должен быть максимально независим. Т.е. если его можно спокойно перенести НЕ меняя в другой сайт - это и есть то, что вам нужно.