Как произошло слово «половник»?

В "Толковом словаре живого великорусского языка" Владимира Ивановича Даля слова ПОЛОВНИК нет, но есть УПОЛОВНИК или УПОЛОВНЯ, она же поваренка, чумичка, ковш на долгой рукоятке, черпачёк у стряпух, которым мешают варево и убавляют, сливают, чтобы оно не ушло, не "сбежало" при варке. Здесь же можно найти глагол УПОЛОВЛЯТЬ, УПОЛОВИТЬ, УПОЛОВИНИТЬ, который имеет значение разделить пополам, взять половину, отбавить. Есть в этом словаре и слово УПОЛ, УПОЛЫ, которое обозначает снятый с варева жир, пену или вообще ОТБАВКУ, сделанную УПОЛОВНИКОМ. Так что думаю, что слово ПОЛОВНИК (в значении кухонная принадлежность) произошел от УПОЛОВНИКА, а тот в свою очередь от УПОЛА. Связь со словом ПОЛОВИНА прослеживается, если взять во внимание значение "ОТБАВКА". Слово ПОЛОВНИК имело и еще одно значение. Оно обозначало крестьянина, испольщика, который не имел своей земли и работал на хозяина земли из половины прибыли. Так что в этом значении слово ПОЛОВНИК имеет самую тесную и непосредственную связь со словом ПОЛОВИНА.