Как правильно пишется фраза «поздравляю с днем рождения»?

Пишем так, как указано в формулировке вопроса: "поздравляю с днем рождения" (если это начало предложения, то первое слово, естественно, с большой буквы).

Словосочетание "с днем рождения" пишется строчными буквами: с днем рождения Медведева, с днем рождения Папы Римского и т. д., отличие от случаев, когда слово "день" является первым в названиях знаменательных дат и праздников, например: День Советской Армии, День авиации, День Победы и др.

Слово "рождение" пишется (и произносится) в форме родительного падежа, так как на его вопрос отвечает: с днем (чего?) рождения.

Фраза пишется правильно вот так: "Поздравляю с Днём рождения!" Слово "Днём" пишется с большой буквы, потому что это название знаменательного события, праздника.

Фраза "Поздравляю с Днем Рождения!" правильно пишется как "Поздравляю с Днем Рождения!"