Как правильно называть вернюю часть нижнего женского белья?

Формально это именно бюстгалтер. Но это слово немецкого происхождения, и как вы правильно заметили в русском языке выглядит грубо и неудобопроизносимо.

Другим вариантом является ЛИФ. Лифчик же это не основной термин, а его уменьшительно-ласкательная форма.