Как понять пожелание «с новым счастьем»?

Да никак. Просто штамп. К которому все охотно прибегают, когда больше нечего ни сказать, ни пожелать.

Словно счастье - это новая мебель, новая посуда, новая машина и так далее. Это было бы так примитивно и просто.

А чем, например, старое счастье хуже нового, чем оно не угодило, что от него надо откреститься и обратиться с энтузиазмом к новому?

По-моему, такое пожелание говорит лишь об ограниченности и ординарности того, кто такое желает.