Как отремонтировать электрический удлинитель?

Вилки в подавляющем большинстве электроприборов и удлинителей - неразборные, следовательно, ремонту не подлежат и просто заменяются целиком. Провод - можно вырезать подгоревшую часть и соединить жилы клеммниками, одни из самых надёжных - фирмы Wago, с защёлками, их используют электрики, но - для неподвижных проводов, так что лучше, конечно, сделать скрутку и пропаять. В случае неуверенности в своих действиях проще и безопасней купить новый удлинитель, либо провод с вилкой.

Ну и определить причину неисправности удлинителя - у провода это может быть пережатие мебелью или обувью или подключение электроприборов слишком большой мощности, у вилки - плохое качество соединений или искрение в розетке (снять крышку и осмотреть надёжность контактов не помешает).