Как открыть счёт в европейском банке, не имея гражданства страны ЕС?

Не возможно это сделать. Для этого существуют посредники-агенты. Зайдите в местную юридическую контору, вам предложат услугу открытия и обслуживания банковского счета за деньги. Дело в том, что налоговая служба в ЕС работает по другим правилам, нежели в СНГ. И банки перестраховываются от обвинений в "отмывке средств для террористов". То, что показывают в художественных фильмах, особенно про анонимные(обезличенные счета) в швейцарских банках- в настоящий момент, не более чем миф.

Можно сделать через банк в Хорватии (ЕС с июля 2013 года) Primorska Banka (www.primorska.hr), владелец швейцарский CIM Banque. Отвечают на мейл на русском языке, открывают счёт удаленно, т. е. без необходимости личного присутствия.