Как достать сломавшийся дюбель-шуруп (дюбель-гвоздь)?

Смотря в каком материале случился облом. Впрочем, сейчас есть режущие инструменты для любых материалов, даже алмазные свёрла для стекла.

Есть мысль высверлить сломанный дюбель вместе с куском материала, в котором он находится. Есть так называемые трубчатые свёрла для таких работ. Правда потом придётся чем-то заделывать получившиеся отверстие, бетонировать, цементировать или заливать композитной смолой, в зависимости от того что это за материал.

Теоретически ещё как бы можно вытравить обломок сильной кислотой, но только в том случае если материал в котором сидит дюбель совершенно нейтрален для кислоты, но такого почти никогда не бывает.