Как доказать факт покупки товара без чека?

Не забрали документы, а отдали сами их, так как для гарантийного ремонта чек не нужен. Да и чек не является один лишь свидетельством того, что он вами приобретен. Принимая на гарантийный ремонт, Вам должны были дать документ о приемке с датой и описанием характеристик на момент приема. Если нет ничего, то это Ваша ошибка и вероятно злой умысел гарантийной мастерской или магазина. В этом случае пишите претензию письменно на имя магазина в котором покупали товар. Один экземпляр претензии оставляйте у себя и обязательно проследите, что бы на нем сделали отметку о принятии этой претензии. Указывайте разумный срок для рассмотрения Вашей претензии. И если ситуация не измениться, то по истечении срока обращайтесь в суд с требованием вернуть уплаченные за товар деньги, вернутт отремонтированный товар или обменять его на аналогичный. Ну и заручиться свидетелями.