Где найти API ВКонтакте для создания особого приложения (см.ниже)?

Мутный у них API. Даже некоторые документированные функции отключили без объяснения причин.

А что касается скачивания видео, мне кажется, это все-таки не в их интересах.

По-сути, такой контент - это основной драйвер их роста, и я бы не рассчитывал на простое решение этой задачи через API.

Если мне не изменяет память, они раньше давали только возможность вызвать свой плеер для проигрывания конкретного видео (а вот ссылку на плеер генерировали через API).