Есть ли антонимы, синонимы и омонимы среди фразеологизмов?

Конечно, существуют.

Фразеологизмы-синонимы.

Куда глаза глядят - на все четыре стороны.

Бить баклуши - валять дурака.

Ума палата - семь пядей во лбу.

Фразеологизмы-антонимы.

За тридевять земель - рукой подать.

Засучив рукава - спустя рукава.

Заварить кашу - расхлебывать кашу.

Фразеологизмы-омонимы.

Спустить петуха ( сфальшивить, поджечь) .

Брать слово ( по собственной инициативе выступать на собрании, получать от кого-либо обещание).