Если родственники умершего не объявились, квартира достанется соседке?

Соседка к этой квартире никакого отношения не имеет (конечно, если не подделала документы, например, дарственную или завещание), а тот факт, что она забрала ключи, может квалифицироваться как самоуправство и быть основанием для судебной тяжбы. Что касается законных наследников, то срок вступления в наследство (6 месяцев) они благополучно прошляпили, поэтому остается вариант вступления в наследство по решению суда. Но для этого нужно как минимум оторвать свои задницы и хоть что-нибудь сделать. Если им, конечно, эта квартира нужна. Если нет, то соседка может благополучно заселить туда квартирантов или сдавать под бордель с почасовой оплатой.

Если квартира как объект наследства, наследниками не принимается, не заявляются права на это наследство, то эти права в результате заявит государство. Квартира будет признана бесхозяйным имуществом и перейдёт в собственность государству. Это обычная практика законная признание право государственной и муниципальной собственности на бесхозяйное имущество. Если родственники бездействуют, значит им не очень надо, наследство носит заявительный порядок, т. е. о своих правах наследник должен заявить. Если за четыре года ни один из родственников не объявился, значит не заинтересованы в этом имуществе. Но это совершенно не значит, что соседка на эту квартиру может иметь какое-то право. Никакого законного перехода права собственности к соседке ни через четыре, ни через пять лет, быть не может.