Должен ли в аквариуме быть постоянно включенный фильтр?

Абсолютно верно. Более того, тщательно мыть сам фильтр не нужно. Ну разве что, если он сильно заилился и стал слабо пропускать воду (это стало заметно невооруженным глазом) иногда прополоскать в слитой аквариумной воде. Под краном или в горячей воде ни в коем случае! Сам фильтр служит не только для улавливания механической мути и мусора, а является местом обитания полезных бактерий, которые способствуют нейтрализации продуктов жизнедеятельности рыб.

Для чего нужен фильр воды, для ее чистки, поэтому фильтр должен работать круглосуточно, можно отключить его ненадолго пока вы будете мыть аквариум, ну это мое мнение.