Что такое постоянные и непостоянные части речи?

С большой долей лингвистической ответственности скажу, что части речи в русском языке подразделяются на самостоятельные и служебные (это самая простая классификация, предназначенная для школьников). Все эти части речи постоянны в своих определениях. Есть лишь некоторые разночтения, не представляющие собой нечто качественное.

Терминов "постоянная часть речи" или "непостоянная часть речи" я не встречала. Если кто-то встречал, то дополнит меня.

Но, исходя из формулировки вопроса, могу предположить, что речь идёт о причастиях и деепричастиях, которые в разное время и в разных учебниках преподносились читателям по-разному. Или как самостоятельные части речи, или как особые формы глаголов. Давайте назовём их непостоянными. А остальные части речи, таким образом, будут постоянными.

Примеры: Смеющийся (причастие), смеясь (деепричастие) - смеяться (исходный глагол).

Более употребим термин "постоянные и непостоянные признаки частей речи". Но это уже другой вопрос.