Что такое метрика?Что такое метрическое пространство?

Метрикой называется правило, по которому каждой паре точек некоторого пространства ставится в соответствие некоторое число, называемое "расстоянием" между этими точками, ЕСЛИ а) такое правило можно сформулировать, и б) это правило даёт однозначный результат для любых двух точек. Подчеркну - однозначный, а не "одинаковый".

При этом должны соблюдаться некоторые допонительные условия. Так, расстояние равно нулю тогда и только тогда, когда точки совпадают. Расстояние не должно зависеть от того, какая точка выбрана "первой" (то есть расстояние от А до В равно расстоянию от В до А). И расстояние между двумя точками всегда меньше, или по крайней мере не больше, чем сумма расстояний от этих двух до какой-то третьей.

Ну и если такое правило со всеми этими условиями для данного пространства таки да, можно задать, то пространство называется метрическим.

Это всё вполне вписывается в привычную геометрию Евклида, где метрика (правило вычисления расстояния) совпадает с теоремой Пифагора. Однако такое правило может иметь и более замысловатый вид. Например, "манхэттенская метрика", где расстояния измеряются не по гипотенузе, а по сумме катетов (по Манхэттену иначе и не проедешь...). Такое правило удовлетворяет всем перечисленным требованиям, хотя и отличается от привычного нам определения расстояния "по прямой". Другой пример - сфера, частный случай риманова пространства, где тоже "нормальной" теоремой Пифагора и не пахнет (там даже аксиома параллельности Евклида не выполняется, там другая аксиома вместо неё), но тем не менее расстояния измеряются вполне однозначно. Мы в таком пространстве и живем, особенно наглядно это проявляется тогда, когда надо перелететь из Калининграда во Владивосток. Земля - это, знаете ли, шарик...

Метрика может быть и локальной для данного пространства. Это означает, что в некоторой небольшой окрестности выбранной точки все условия существования метрики выполняются, а вот для всего пространства в целом, или для "большой" его области, - уже нет. Это пространство Общей теории относительности.