Что такое геометрия Римана?

Геометрия, в которой иная, по сравнению с Евклидовой, формулировка аксиомы параллельности.

Аксиома Евклида постулирует, что через точку вне прямой можно провести прямую, её не пересекающую, причёи только одну. Как видно, тут в одной аксиоме есть два утверждения: что такую прямую провести таки да, можно, и что она единственная.

Попытки рассматривать этот постулат Евклида как аксиому и доказать существование и единственность параллельной прямой предпринимались едва ли не со времён самого Евклида, только ничего их этого не выходило. Первый прорыв удался Лобачевскому, который, предположив, что такая прямая не единственная, создал свою геометрию - геометрию Лобачевского. Под геометрией тут понимается некоторая система исходных утверждений (аксиом) и следующая из неё система доказываемых утверждений (теорем), в которой нет внутренних противоречий. Оказалось, что если допустить существование как минимум двух прямых, проходящих через одну и ту же точку и не пересекающих данную прямую, ничего страшного не происходит: удаётся построить точно такой же набор теорем, не противоречащих друг другу, хотя и необычных с точки зрения обычной евклидовой геометрии.

Ну а геометрия Римана - это почти то же самое: Риман предположил, что через точку вне прямой НЕЛЬЗЯ провести прямую, её не пересекающую (то есть утверждение, противоположное по смыслу тому, что предложил Лобачевский). И тоже получил систему непротиворечивых теорем, которые и образовали геометрию Римана (это, кстати, не то же самое, что риманова геометрия). Так что в геометрии Римана существование параллельных прямых не то чтоб "запрещено", а они там просто отсутствуют по определению.

Геометрия Римана "ближе к жизни", чем геометрия Лобачевского. Геометрия Римана выполняется на поверхности постоянной положительной кривизны (сфера), где прямой считается окружность большого круга (т. е. плоскость такой окружности проходит через центр сферы). В отсутствии на такой поверхности "параллельных прямых" легко убедиться, взяв в руки мячик или глобус. Геометрия Лобачевского выполняется на поверхности постоянной отрицательной кривизны (псевдосфера) - такую поверхность описывает трактриса, вращающасяс вокруг своей асимптоты.