Чему покровительствовала богиня которой обязано происхождением имя Дмитрий?

Дмитрий - имя довольно распространённое и "очень русское", православное. Но на самом деле "Дмитрий" - пришелец, хорошо прижившийся иностранец, ставший за века своим.

Происхождение имени греческое. И, несмотря на всю "православность", значение вполне себе языческое - "посвященный Деметре".

Деметра - древнегреческая богиня. В мифах ей приписано очень значимое происхождение - от Реи (Земли) и Кроноса (Времени). Большинство олимпийцев были её близкими родственниками - братьями и сёстрами (включая и самого Зевса).

Эта богиня не была ослепительно красива и соблазнительна (как Афродита) или мудра и проницательна (как Афина), не отличалась особым воинским или охотничьим искусством (как Артемида). Но почиталась едва ли не более всех их вместе взятых. Поскольку персонифицировала (воплощала) силу плодородия - то начало, что позволяет всему (и растениям, и животным) жить, расти и продолжать себя в потомках.

Нет никаких сомнений, что первоначально Деметра была гораздо важнее и старше всех прочих богов. Само её имя - очень древнее. Наиболее близкий русский аналог ему "Мать-Земля". Она создательница и хранительница жизни, а позднее - земледелия.