Чем отличаются православные христиане новообрядцы от старообрядцев?

С точки зрения теологии, возьму на себя смелость заявить, что практически ничем. Кстати, не "новообрядцы", а "никониане", так старообрядцы последователей РПЦ называют. А вот с точки зрения обрядовой, внешней стороны исповедования Веры - несколько отличаются. Главное отличие - у старообрядцев (древлеправославных - так они себя называют) нет священства. Потому что патриарх Никон физически истребил всё священство, приверженное к старому обряду и некому стало рукополагать новых священников, прервалась преемственность. Их одно время так и называли "беспоповщина". Ещё - двуперстное крёстное знамение (двумя пальцами вместо трёх).

В более общем случае - Никон приблизил исповедование Веры ближе к каноническому греческому образцу, это после полутысячи лет собственной истории исповедования Православия на Руси. Понятно, что народ был взбешён - "кто-то, пускай Патриарх, будет указывать, как нам в Бога верить?!" (русское Православие отличалось завидным демократизмом, в отличие от "армейской" дисциплины в католичестве, "непререкаемых авторитетов" в Русской Церкви не было).