Чем отличается вооруженный конфликт от войны?

Действительно, в любом случае воюют, но войной считается официальное объявление одной страны в адрес другой. То есть глава государства издаёт такую бумагу (приказ, указ и т. д.) в которой написано - "мы (такие-то) объявляем вам (таким-то) войну. Тогда и считается официально объявленной война. Юридически это означает, что в случае победы одной стороны вторая сторона признаёт себя побеждённой, и ещё может назначаться какие-то выплаты или отдаваться какие-то земли стране-победителю.

Ещё считается так, что в официально объявленной войне могут официально участвовать несколько стран в качестве союзников на той или иной стороне конфликта.

А вооружённый конфликт обычно бывает более локальным, происходит очень часто на приграничных территориях, характеризуется как бы юридической неоформленностью и, как следствие, в таком конфликте никто никому ничего официально не должен.

Если вы спрашиваете о военном конфликте на Украине, то это официально не считается войной, хотя украинские СМИ и вещают о российском вторжении и т. д. Официально киевские власти объявили только АТО, и все, кто участвует в конфликте не считаются принимающими участие в военных действиях, никаких компенсаций за погибших официально никто не получит.