Безопасно ли давать программисту логин и пароль от своего сайта?

Вообще, все зависит от того, какая поставлена задача. Естественно, "боевые" пароли лучше никому не давать. Если требуется серьезная правка, то лучше всего скопировать скрипты сайта с "продакшена" (боевого сервера) на виртуальную машину (где полностью продублировано окружение сервера), "залить" туда тестовую базу данных и работать уже с ней. После полной проверки функциональности уже "заливать" на боевую машину. Если требуется модификация структуры базы данных - то программист может представить скрипт, который эту базу модифицирует.

p.s. максимум, что можно дать - это пароль от "админки", и после выполнения задания, его сразу изменить. Вообще, при выполнении таких работ, заключается договор о неразглашении.