Задача. Найти угол между боковой гранью и основанием пирамиды?

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в два раза больше площади основания. Найти угол между боковой поверхностью и основанием.

Боковая поверхность - 3ASC

Основание - ABC

Угол между боковой поверхностью и основанием - B1B

S - площадь

3S(ASC)=2S(ABC)

S(ASC)=(1/2)AC*SB1

S(ABC)=(1/2)AC*BB1

Подставляем две последние формулы в первую, получаем

3(1/2)AC*SB1=2(1/2)AC*BB1

SB1=(2/3)BB1

Точка O - пересечение медиан треугольника ABC, значит BB1= 3OB1

SB1=2OB1

Треугольник SOB1 прямоугольный с прямым углом SOB1, т.к SO является высотой пирамиды.

cos угла OB1S = OB1/SB1=1/2

Отсюда угол OB1S=60 грудусов, т.к. 1/2 это cos угла 60 градусов

Можно обойтись без синусов и косинусов.

Площадь боковой поверхности - это сумма площадей трех равнобедренных треугольников (например SAC), а площадь основания это площадь треугольника АВС. Поэтому 3*S(SAC) = 2*S (ABC). Это значит, что S(SAC) = 2/3*S (ABC), а значит и высота SВ1 = 2/3 ВВ1. Основание пирамиды равносторонний треугольник АВС, у которого высоты в точке пересечения делятся в отношении 2:1, то есть ОВ1 = 1/3 ВВ1. Соответственно в прямоугольном треугольнике OSB1 катет OB1 = 1/2 SB1 (гипотенузы). По известной теореме угол OSB1 = 30 градусов, тогда искомый угол ОВ1S hfdty 60 uhflecfv/

Площадь грани АСS равна (1/2)*(АС)*(SB1), а вся боковая поверхность S(б)=3/2*(АС)*(SB1).

Площадь основания равна S(о)=(1/2)*(АС)*(ВВ1).

По условию S(б)=2*S(о), т.е. 3/2*(АС)*(SB1)=2*(1/2)*(АС)*(ВВ1), отсюда (SB1)=(2/3)*(ВВ1).

Точка О - точка пересечения медиан треугольника АВС, поэтому отрезок (OB1)=(1/3)*(ВВ1).

cos(SB1O)=(OB1)/(SB1)=(1/3)*(ВВ1)/((2/3)*(ВВ1))=1/2, угол (SB1O) равен 60°.