Задача. Какова очередность падения шаров на поверхность земли?
Ответов: 10
Если пренебречь силой сопротивления воздуха, то одновременно. Если её учитывать, то тут уже неочевидно, нужно расписывать все силы, которые действуют на шары, и считать их. Тут действуют 2 силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха, пропорциональная площади тела. Fтяжести = m*g. Fсопр. воздуха = k * S * f(v), где k -- коэффициент, S -- площадь поверхности тела, f(v) -- функция, как-то зависящая от скорости (как -- не важно, главное что она монотонно возрастает). Так как тела имеют одинаковую форму (шары, отличающиеся только радиусами) и летят в одинаковых условиях, то k и f(v) для трех тел равны. S = pi*r^2. r ~ V^(1/3) (здесь знак ~ означает пропорциональность, или же равенство с точностью до какого-то коэффициента, который я далее буду опускать). S = pi*V^(2/3). V = m/ro, где ro -- плотность. Используем 2-й закон Ньютона: a = f / m. a = (mg)/m - k*S*f(v)/m. Для упрощения можно отбросить k и f(v), так как нам важны не сами значения a, а то, у какого тела оно будет больше или меньше. Значит чем больше S/m, тем позднее упадет тело. S/m = pi*r^2/m = pi*V^(2/3)/m ~ V^(2/3)/m = (m/ro)^(2/3)/m = m^(-1/3)/ro^(2/3)=(1/ro^2/m)^(1/3)=(ro*ro*m)^(-1/3). Посчитаем S/m для наших тел:
свинец: (ro^2*m)^(-1/3) = (11340*11340*1)^(-1/3) = 0,00198
медь: (8930*8930*10)^(-1/3) = 0,00108
алюминий: (2712*2712*100)^(-1/3) = 0,00111
Чем больше S/m, тем больше сопротивление воздуха влияет на ускорение тела, тем больше оно его тормозит. Значит первым упадет медный шар, потом алюминиевый, потом свинцовый, ответ E.
А можно еще и учитывать силу Архимеда, тогда ответ тоже может получиться другой... Но я рассматривать этот вариант не буду, т.к. мне кажется придется вычислять точное значение всех сил, что повлечет за собой кучу зубодробительных вычислений да еще и применение дифференциальных уравнений. Если вам это надо -- напишите об этом в вопросе, а так мне лень.
Рассуждения примерно такие: время, за которое шары упадут на землю зависит от силы притяжения Земли и силы сопротивления воздуха. Во-первых, сила притяжения в одном месте Земли для всех тел одинакова. Во-вторых, сила сопротивления зависит от ряда факторов, только один из которых будет различным для этих шаров - это площадь сечения: чем она больше, тем больше скорость сопротивления и тем больше время, за которое шары долетят до земли. В-третьих, т.к. все предметы одной шарообразной формы, то площадь сечения зависит от радиуса шара, а площадь шара зависит от объема шара V=4/3*пи*R^3. Вот его мы и вычислим - у кого он будет самый маленький, тот прилетит быстрее, у кого самый большой - тот последним.
Найдем зависимость радиуса от массы тел. Для этого понадобится плотность: у алюминия она равна 2712 кг/куб м. Медь - 8930, Свинец - 11340. Массы соответственно 100, 10 и 1 кг.
Найдем объемы шаров: алюминий = 100/2712 = 0,03687 куб м, медь = 10/8930 = 0,0011 куб м, свинец = 1/11340 = 0,0001
Таким образом, объем самый маленький у свинцового шара, самый большой - у алюминиевого. Значит, шары упадут по порядку свинец - медь - алюминий. Вариант b.
В данной задаче время падения в основном зависит от ускорения шаров под действием трех сил:силы тяжести, силы Архимеда и силы сопротивления воздуха. Самый большой объем имеет алюминиевый шар (по плотности и по массе) который больше свинцового примерно в 400 раз.
Дальше медный (примерно 20 раз больше свинцового). Поэтому на алюминиевый шар действуют выталкивающая сила (сила Архимеда) в 400 раз больше, чем на свинцовый и сила сопротивления воздуха примерно 20 раз больше, чем на свинцовый. Конечно в числовом (абсолютном) выражении сила Архимеда по сравнению с силой тяжести (примерно в 2700 раз меньше). Поэтому им можно пренебречь. А вот сила сопротивления может повлиять на скорость падения, поэтому при строгом подходе первым упадет шар наименьшего объема. Ответ б)свинец, медь, алюминий. Но учитывая небольшую высоту Пизанской башни, все эти шары упадут одновременно, поэтому верный ответ в ЕГЭ, в школе а) все шары упадут одновременно. (Галилей дал такой же ответ).
Тут все зависит от размера шара, т.е. от площади поверхности, которая будет соприкасаться с воздухом и на которую, соответственно, будет действовать сила сопротивления воздуха. А так еще Галилей доказал, что независимо от массы, они упадут одновременно, т.к. будут падать с одинаковым ускорением свободного падения.
Я бы предположил, что все шары независимо от их массы приземлятся фактически одновременно. Сила притяжения F=mg действует на каждый шар по-разному, но в то же время каждый из шаров имеет одинаковое ускорение g=9.8 м/с^2 и они движутся по одинаковой траектории - по прямой вниз равноускоренно. Потому шары приземлятся фактически одновременно. Фактически потому что масса все-таки будет влиять, но не в такой степени. Плюс погрешность измерений, расчетов и шероховатости поверхности земли дадут о себе знать.
Ответ а.
Согласно замечаниям CyberAndrew:
При k = 0,6 получаем tPb = 3,37740 с, tCu = 3,37616 с, tAl = 3,37620 с.
Когда приземлится медный шар, алюминиевому ещё лететь 1 миллиметр, а свинцовому - целых 4 сантиметра (без учёта силы трения 3.37467 с).
Ответ a
x = 55,86 м
mPb = 1 кг, roPb = 11300 кг/м3 => tPb = 3,4 c (3,38014)
mCu = 10 кг, roCu = 8900 кг/м3 => tCu = 3,4 c (3,37765)
mAl = 100 кг, roAl = 2700 кг/м3 => tAl = 3,4 c (3,37773)
Ответ b). Разница падения будет в долях миллисекунд.
Думаю, что ответ "g", чем больше вес, тем больше будет притяжение и скорость падения. Даже если плотность у каждого шара разная.
Ну если масса 100кг, он будет первый 10,1кг будет последний.
Добавить комментарий