В круглом колодце налита вода на одну единицу длины. Две разновеликие тростинки, с длиной 2 и 3 единицы соответственно, одними концами упираются в дно колодца, а другими концами опираются на его стены. Тростинки пересекаются на уровне налитой в колодец воды. Какова ширина (диаметр) колодца?
Современная формулировка: На дно колодца опустили две палки длиной 2 м и 3 м так, что они пересекаются. Расстояние от их пересечения до дна составляет 1 м. Найти диаметр основания.
Задача Фараона/Колодец Лотоса- какие есть простые и ясные способы решения?
+7 +/-
Ответов: 2
2 +/-
Лучший ответ
Пусть диаметр равен х м. Тогда, по Пифагору, расстояние от дна до точки касания длинной палки равно v(9-x2), а короткой v(4-x2). Обозначим долю диаметра от точки касания короткой палки до точки пересечения палок ?, тогда доля диаметра от точки пересечения до точки касания длинной палки будет (1- ?).
Из подобия треугольников получаем:
Из большего треугольника: ?*v(9-x2)=1, и ?=1/v(9-x2).
Из меньшего треугольника (1- ?)* v(4-x2)=1, и ?=1-1/v(4-x2).
Приравнивая значения ? получаем несложное уравнение:
1/v(9-x2)= 1-1/v(4-x2) (1).
Если его пытаться решить аналитически, то можно использовать такой подход:
Преобразуем уравнение в такой вид: 1/v(9-x2)+1/v(4-x2)=1,
далее в такой: v(4-x2)+ v(9-x2)= v(4-x2)* v(9-x2).
Обозначим (4-x2)=у. Тогда уравнение примет более простой вид:
v(у)+ v(5+у)= v(у)* v(5+у).
Возведём обе части в квадрат, получим:
у+ 5+у+2v(у2+5у)= у2+5у, или у2+3у-5=2v(у2+5у),
у4+9у2+25+6у3-10у2 -30у=4у2+20у,
у4+6у3-5у2-50у+25=0.
В принципе, это уравнение можно решить, затем вычислить у.
Но, поскольку у нас в распоряжении есть такой мощный инструмент, как Excel, то проще всего решить исходное уравнение (1) 1/v(9-x2)= 1-1/v(4-x2) в Excel методом подбора.
Получается, что диаметр колодца равен 1,231185
2 +/-
В этом колодце нарисована 2 больших треугольника:один состоит из палки=3м,ширины-х,другой треугольник состоит:из палки=2м,и той же ширины х.Пусть из точки пересечения опущен перпендикуляр на дно. Обозначим расстояние по дну от палки=2м через у. Тогда составим пропорции для подобных треугольников:1)у\х=1\V(4-x^2),2)(х-у)\х=1\V(9-x^2).М имеем систему 2-уравнений с 2-мя неизвестными, но и в добавок иррациональное, т.к.кроме х и у в 1-й степени участвуют иррациональные выражения V(9-x^2) и V(4-x^2).Избавляясь от иррациональности систем придет к уравнениям 4-й степени, и решать эти уравнения придётся с помощью помощью специальных методик математики. Самое главное, что задача решаема и есть ответ:ширина=1,231
Похожие вопросы
Были ли у вас проблемы в Сбербанк Онлайн и какие?
Ответ: У меня проблема со сбербанком, только не с онлайн. У меня банк списал деньги с карты при помощи мобильного банка (была подключена такая услуга на телефон). ... Читать далее...
Какими способами можно решить головоломку о кольцах из книги Дьюдени?
Ответ: Я решал эту задачу в уме, составив пропорцию.
Но предварительно необходимо учесть, что длина каждой из цепей рыцарей состоит из сумм внутренних диаметров ... Читать далее...
Добавить комментарий