Задача 8,найдите длину образующей усечённого конуса?
Ответов: 3
Площади оснований усеченного конуса S= Pi*R^2,тогда R^2=S/Pi, и квадрат малого основания Rм^2=324 см.^2, а квадрат большого Rб^2=1424 см.^2. Соответственно Rм=18 см., Rб=42 см. Квадрат длины усеченного конуса L^2=(Rб-Rм)^2+Н^2, где Н - высота равнобедренной трапеции осевого сечения усеченного конуса. Соединим центр описанной окружности О с вершинами трапеции и по теореме Пифагора следует R^2=Rм^2+hм^2=Rб^2+hб^2, где R - радиус описанной окружности, hм и hб - расстояния от центра окружности до малого и большого оснований трапеции соответственно. Вычисляем hм=38,5 см, hб=6,5 см. , Н=hм+hб=45 см., L^2=24^2+45^2=2601 и L=51 см.
Площади оснований S1 = pi*r1^2 = 1764*pi, S2 = pi*r2^2 = 324*pi. Отсюда r1 = 42, r2 = 18.
Осевое сечение усеченного конуса - это равнобочная трапеция с основаниями d1 = 2r1 = 84, d2 = 2r2 = 36.
Радиус окружности, описанной вокруг этой трапеции, равен R = 42,5.
Поскольку трапеция равнобочная, то углы BOC = AOD
По теореме косинусов
d1^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos AOB = 2R^2*(1 - cos AOB)
1 - cos AOB = d1^2/(2R^2) = 84^2/(2*42,5^2) = 7056/3612,5 = 1 3443,5/3612,5
cos AOB = 1 - (1 3443,5/3612,5) = -3443,5/3612,5 = -6887/7225 ~ -0,9532
AOB ~ 162,5 градуса
d2^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos COD = 2R^2*(1 - cos COD)
1 - cos COD = d2^2/(2R^2) = 36^2/(2*42,5^2) = 1296/3612,5
cos COD = 1 - 1296/3612,5 = 2316,5/3612,5 = 4633/7225 ~ 0,6412
COD ~ 50,1 градуса
BOC = AOD = (360 - AOB - COD)/2 = (360 - 162,5 - 50,1)/2 = 147,6/2 = 73,8 градуса
cos BOC = 0,28 (неожиданно получилось точное значение).
Боковая сторона трапеции, то есть образующая конуса, равна
L^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos BOC = 2R^2*(1 - cos BOC) = 2*42,5^2*(1 - 0,28) = 3612,5*0,72 = 2601
L = 51 см.
Для школьников, не знакомых с тригонометрией, предлагаю метод попроще. Воспользуемся рисунком Mefody66. Обозначим середину АВ точкой К, а середину CD точкой L. Из треугольника OKB по Пифагору OK=v(42,5^2-42^2=6,5 см. Аналогично, из треугольника OLC OL=v(12.5^2-18^2)=38,5 см. Значит высота трапеции =38,5+6,5=45 см. Опустим из точки С перпендикуляр СМ к АВ. Очевидно, что МС=42-18=24 см. По Пифагору из треугольника СМВ получим СВ=v(45^2+24^2)=51 см.
Похожие вопросы
Добавить комментарий