Зачем нужен дискриминант?

Чтобы проще решить уравнение и проверить, есть ли действительные решения.

Например, у квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 будет D = p^2 - 4q.

Если D > 0, то уравнение имеет 2 разных действительных корня: x1 = (-p - vD)/2; x2 = (-p + vD)/2

Если D = 0, то уравнение имеет 2 одинаковых корня: x1 = x2 = -p/2 (часто говорят - один корень)

Если D < 0, то уравнение имеет 2 комплексных корня: x1 = (-p - i*v(-D))/2; x2 = (-p + i*v(-D))/2 (в школе говорят - корней нет).

У кубического уравнения x^3 + px + q = 0 (его в школе не проходят) по Кардано дискриминант Q = q^2/4 + p^3/27.

Строго говоря, на самом деле дискриминант равен -108Q = -27q^2 - 4p^3, но в решении используется Q.

Обозначим a = корень кубический(-q/2 - vQ), b = корень кубический(-q/2 + vQ)

Если Q > 0, то уравнение имеет 1 действительный и 2 комплексных корня: x1 = a+b; x2,3 = -(a+b)/2 ± i*(a-b)/2*v3

Если Q = 0, то уравнение имеет 1 действительный и 2 равных действительных корня (или 3 равных).

Если Q < 0, то уравнение имеет 3 вещественных корня, но это так называемый "неприводимый" случай.

Три вещественных корня приходится искать, используя комплексные числа, потому что под корнем будет Q < 0.

Интересно, что решая этот случай, Кардано как раз и ввел в математику комплексные числа.