В некоторых случаях сумма углов треугольника может больше 180 градусов…?

Возьмите небольшой резиновый мяч, поставьте его на стол, и начиная с самой верхней точки начертите на нем "прямую", т. е. начав линию продолжайте ее прямо, пока не завершите оборот и не достигнете начала линии. Получится окружность (назовем ее экватор). Теперь поверните мяч так, чтобы плоскость начерченной окружности была строго вертикальна. Теперь, опять начав с самой верхней точки проведите линию (окружность) перпендикулярную первой. Теперь поверните мяч так, чтобы плоскость одной окружности была вертикальна, а другой - горизонтальна. Опять начав с самой верхней точки проведите линию, перпендикулярную той, что проходит через эту точку. В итоге, поверхность мяча разделили на 8 равных треугольников, каждый угол которых составляет 90 градусов, а сумма трех углов 270 градусов. Теперь, рассмотрим один из треугольников. Если мы в нем проведем прямую параллельную одной из сторон, то получим меньший треугольник, в котором сумма углов меньше 270 градусов. Постепенно, приближая эту параллельную линию к противоположной вершине, получим серию треугольников, в которых сумма углов будет все меньше и меньше, в пределе она составит 180 градусов.

А теперь, наоборот, будем рассматривать эти же параллельные линии, но вершину противоположную, т. е. треугольники большие исходного. Тогда сумма углов такого треугольника будет больше 270 градусов, и чем больше треугольник, тем больше. В пределе, сумма углов составит (90+2*135=360 градусов). Теперь, если разводить в стороны боковые стороны рассматриваемых треугольников, то сумма углов будет продолжать увеличиваться, и в пределе, как и пишет Trackstone, составит 3*180=540 градусов.