Уравнение эллипса. Что такое эллипс? Как составить его уравнение?

Уравнение эллипса x^2/a^2+y^2/b^2=1

Эллипс это линия второго порядка.

Эллипс это множество точек плоскости для каждой из которой сумма расстояний до двух заданных точек есть величина постоянная большая чем расстояние между двумя фокусами.

Эти две точки называются фокусами эллипса.

В уравнении эллипса величины a и b называются полуосями эллипса.

Построим чертеж:

Пусть точка М это точка принадлежащая эллипсу. Запишем уравнение эллипса.

По определению получим МF1=((x+c)^2+y^2))^(1/2)

MF2=((x-c)^2+y^2))^(1/2)

Тогда получим:

((x+c)^2+y^2))^(1/2)+((x-c)^2+y^2))^(1/2)=2a

Упростим данное выражение:

((x+c)^2+y^2))^(1/2)=2a-((x-c)^2+y^2))^(1/2)

Возведем обе части в квадрат:

(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-2*2a*((x-c)^2+y^2))^(1/2)

После приведения подобных слагаемых получим:

x^2+2xc+c^2+y^2-x^2+2xc-c^2-y^2=4a^2-2*2a*((x-c)^2+y^2))^(1/2)

4xc-4a^2=-4*a((x-c)^2+y^2))^(1/2)

Разделим на -4:

a^2-xc=a*((x-c)^2+y^2))^(1/2)

Возведем в квадрат:

a^4-2a^2*xc+x^2*c^2=a^2*(x^2-2xc+c^2+y^2)

После приведения подобных слагаемых получим:

a^4-2a^2xc+x^2c^2=a^2(x^2-2xc+c^2)+a^2y^2

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, получим:

a^4+x^2c^2-a^2x^2-a^2c^2-a^2y^2=0

a^2(a^2-c^2)-x^2(a^2-c^2)-a^2y^2=0

Пусть b^2=a^2-c^2. Тогда получаем:

a^2b^2-x^2b^2-a^2y^2=0

Разделим на a^2b^2:

1-x^2/a^2-y^2/b^2=0

Или окончательно получим:

x^2/a^2+y^2/b^2=1