Теорема, аксиома. Почему теорема требует доказательств, а аксиома нет?

Потому что теорема - по-гречески "предположение", а предположение требует подтверждения (мало ли кто что предполагает?)

Аксиома - по-гречески "утверждение", т.е. правило принимаемое как есть, без доказательств, как основа для дальнейшего построения теории.

Чтобы о чем-то говорить, нужны начальные определения и понятия.

Далее из этих начальных понятий можно отталкиваться в рассуждениях.

Начальные понятия - числа, точки, прямые не определяются.

Если не оговаривать их свойства, мы не сможем оперировать этими понятиями.

Вот начальные свойства и есть аксиомы - это свойства, принимаемые на веру, без доказательства. Обойтись без аксиом не удается - если мы попытаемся вывести аксиому, мы будем опираться на другие понятия.

Например, довольно долго под точкой понималась фигура, не имеющая размера.

А что такое размер? А что такое фигура?

В математике всегда стремились уменьшить количество аксиом, сводя их к минимуму.

Кстати, вот вам аксиоматика

А, Б, В, Г - это точки.

Любые две точки - это прямая.

Любые три точки - это плоскость.

Прямые либо пересекаются в точке, либо не пересекаются вообще (параллельны).

Любые две плоскости пересекаются по прямой.

Вот вам и вся геометрия... Какой аксиомы не хватает, чтобы получить "привычную" геометрию?

Потому что теорема это просто предположение: сделаешь так-то так-то, и будет тебе то-то. А аксиому, как правило, и до тебя доказали целая армия видных ученых, в чей квалификации никто не сомневается. Поэтому решили - зачем каждый раз доказывать что земля круглая, если это и так известно?

Доказать можно все что требует доказательств, в том числе и аксиому. Просто добрые дяденьки из Минестерства образования и Академии наук решили облегчить жизнь бедным, несчастным школьникам и студентам. Зачем доказывать очевидное

Аксиома - это утверждение, и оно в доказательствах не нуждается. Это что-то неоспоримое, безусловное, очевидное. Теорема же предполагает некий путь, поиск, доказательство того, что утверждение правильно.

потому что теорему можно доказать, а аксиому-нет, это как земля круглая-и все!

потому, что аксиома- это теорема не требующая доказательств