Слова «деликатный» и «деликатес» имеют общее происхождение?

Да, эти два слова, предположительно, имеют один этимологический корень, общий.

Деликатный.

В латинском (ныне мёртвом) языке было слово delicatus, обозначавшее «изнеженный», «нежный», «кисейный». Следующей ступенью был немецкий язык – «delikat», затем польский – «delikatny», а в русский язык слово перешло из французского – «delicat». Вот такой получился неблизкий путь. Интересно, что в русском языке слово приживалось через распространённое некогда фонетическое просторечие «великатный». Видимо, народ организовал некую взаимосвязь между деликатностью и величественностью.

Деликатес.

Начало этимологической цепочки, по всей видимости, точно такое же, как и у прилагательного «деликатный». А затем слово пришло в немецкий. Потом во французский (delicatesse). Из французского языка – в русский.