Сколькими способами можно переставить 4 различных книги на книжной полке?

Такие задачи называются комбинаторными. Их надо решать путем построения схемы – дерева всех возможных вариантов. Для примера сначала решим более простую задачу о перестановках только из трех элементов. Алексей (А), Борис (Б) и Виктор (В) купили 3 билета на 1-е, 2-е и 3-е места одного из рядов стадиона на хоккейный матч Россия – Финляндия на Олимпийских играх в Сочи. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места? Решение обычно проводится с помощью так называемого дерева вариантов

Разобраться в этой схеме несложно. Но можно решить эту задачу и с помощью правила умножения. На 1 место может сесть любой из мальчиков. На 2 место может сесть любой мальчик из двух оставшихся. А на 3 место садится последний мальчик. По правилу умножения у троих мальчиков имеется 3*2*1 = 6 вариантов занять свои места.

А если мальчиков (или книг в нашей задаче) четверо? Сколькими способами они могут занять свои места? Добавьте к приведенному рисунку четвертого мальчика Гену (Г). Проделайте это сами, это несложно сделать. Ответ будет таким 4*3*2*1 = 24. А если мальчиков 5? Аналогично рассуждая, получим, что число перестановок будет равно 5*4*3*2*1 = 60. Для 10 мальчиков ответ такой 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = (сосчитайте сами).

Здесь мы видим определенную закономерность.

Если мы имеем n элементов (мальчиков), то сколько перестановок можно из них сделать? Легко сообразить, какой будет ответ

Pn = n*(n-1)*…*1= n! способов. То есть Pn = n!

Здесь Р взято из французского слова permutation – перестановка. Знак вопроса ! здесь получил название Факториал.

Итак, если у нас 4 книги, то ответ будет такой Pn = 4*3*2*1 = 24 способа.