Примеры способов решения задач по кругам Эйлера?

Применение графического изображения для решения математических задач было использовано Готфридом Вильгельмом Лейбницем, известным немецким математиком и философом. Развитие тема получила в логических решениях математических и экономических задач в трудах Леонардо Эйлера, знаменитого ученого швейцарского происхождения, внесшего большой вклад в развитие российской науки.

Некоторые задачи по алгебре с несколькими множествами легче решать, представив их в геометрической форме. На рисунке наглядно видно однородное и смешанное количество. Свободная часть круга однородна, наложение частей круга - смешанность.

Разберем на примере одной задачи применение кругов Эйлера.

В двух пятых классах 50 детей. В театральный кружок ходят - 28, поют в хоре - 33, занимаются спортом - 23. К тому же театром и пением увлекаются 11 учеников, из спортсменов на хор ходят 4, а участвуют в постановках 9. При этом 3 ребенка находят время посещать все три кружка. Вычислить: сколько учеников посещают только хор, театральный кружок, спортивную секцию? сколько детей ничем не занимаются кроме учебы?

На чертеже кругов Эйлера видно распределение:

круг Театр содержит - 28, круг Хор - 33, круг Спорт - 23;

круги пересекаются и там где общие области кругов вписываем соответствующие цифры между театром и хором - 11, между спортом и хором - 4, между театром и спортом - 9;

в области пересечения трех кругов вписываем количество активных - 3.

По рисунку видно, что:

1. истинных спортсменов 23-9-4=10
2. театралов - 28-11-9=8
3. будущих певцов 33-11-4=18

Следует обратить внимание на область наложения всех трех кругов. Цифру в ней надо разделить на количество кругов 3:3=1.

Теперь можно вычислить количество детей, не попавших в круги увлечений. Для этого сложим однородные области кругов и отнимем общее количество детей.

1+9+11+4+8+18+10-50=11

(первая цифра из центра чертежа)

Ответ: занимаются в театральном кружке 8 детей, в хоровом - 18 детей, в спорте - 10, не занимаются в кружках 11 детей.

Логически можно пересчетать учащихся. Трое посещают все кружки, одиннадцать - ни одного, восемь театралов, десять спортсменов и восемнадцать певцов, всех вместе 50 учеников.

3+11+8+10+18=50

Ну, например, такая задача:

Вот эта задача решается с помощью кругов Эйлера очень даже просто. Конечно, можно с помощью системы уравнений, но это сложно. А вот с кругами Эйлера легко.

Только английский знают 7 студентов (28-8-10-3=7). Только немецкий знают 14 студентов (30-8-5-3=14). Только французский знают 24 студента (42-10-5-3=24).