Почему воздух при нагревании расширяется?

Воздух, как и любой газ, расширяется только если объём, в котором газ заключён, способен увеличиваться. Если же газ вообще предоставить самому себе (выпустить в свободное пространство), то он начнёт расширяться и без нагревания. И даже наоборот - будет при таком расширении охлаждаться (эффект дросселирования).

Поэтому, как справедливо заметил Бездельник, при нагревании растёт не объём газа, а давление в нём. И это вполне понятный эффект. Давление газа возникает от того, что молекулы передают свой импульс стенкам. Или другим модекулам. Именно изменение импульса, по третьему закону Ньютона, и приводит к возникновению давления. А с ростом температуры растёт средняя скорость молекул (формула Больцмана), поэтому растёт и их импульс. И как следствие - растёт давление.