Может ли модуль быть отрицательным?

Может. Но это довольно специальный случай, который рассматривается в неевклидовых геометриях. Там вместо модуля применяется понятие метрики пространства. Вот метрика может быть и положительной, и отрицательной, и нулевой.

Если ж не забираться в дебри заумных гитик, а оставаться в рамках нашего обычного евклидового мира или же вообще рассматривать "чистую математику" вне связи с геометрией - например, комплексные числа, - то модуль отрицательным быть не может. По определению.

Ответ кроется в самом определении математического понятия модуль. Итак, Абсолютной величиной? или модулем числа x называют неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|. Иными словами, область значений модуля числа х - от нуля включительно до бесконечности.