Может ли квадрат вещественной матрицы быть равен -E?

В кои-то веки раз интересный вопрос 🙂

Для матрицы 2х2 можно найти БЕСКОНЕЧНО МНОГО решений.

Смотрите: елси влять и тупо возвести матрицу 2х2 в квадрат и приравнять, что получится, "минус-единичной" матрице, то получится 4 уравнения:

а11?+а12а21 = -1

а22?+а12а21 = -1

а11а12+а12а22 = 0

а11а21+а21а22 = 0

Из двух вторых уравнений, если вынести а12 и а21 за скобки, сразу получается, что необходимым условием существования решения является а11 = -а22.

Из двух первых, и с учётом полученного условия, получается следующее уравнение для а11, а21:

а12а23 = -1-а11?.

Ясное дело, что тут возможно сколько угодно вариантов (кроме |a11|=1 - в этом случае нетривиальных нешений нет). Если положить а11=0,5, то получаем приведённое в ответе Транквилити решение. Если положить а11=2 (и а22=-2), то получится, например, а12=2, а21=-2,5 (в справедливости чего легко убедиться).

Наверно, таким же методом можно исследовать и матрицы большего размера. Мне просто лениво... всё ж вычислительная сложность пропорциональна квадрату размера матрицы.