Куда девается энергия в этой задаче?

Очень хорошая задача. Я даже пару дней думал.

Дело тут вот в чём.

Закон сохранения энергии, он конечно справедлив. Но!

Он справедлив только в изолированной системе. Попытки применить его к неизолированным системам приводят к парадоксам.

Шарик в рассматриваемой задаче – система неизолированная. Он взаимодействует с горой. Поэтому рассматривать надо не шарик сам по себе, а систему шарик плюс гора (и плюс планета Земля, на которой стоит эта гора).

Зачем так сложно решать задачу? В механике это есть задача взаимодействия и движения двух тел. Проще всего ее решать в неподвижной системе координат. Поместим начало координат не в центр Земли и не на поверхность Земли, а в центр «тяжести» двух тел (Земли и шарика, будем называть падающий предмет шариком). Масса Земли равна M, а масса шарика m. Где находится их центр тяжести? Должно выполняться равенство МR = mr, (1), где R – расстояние центра Земли от начала координат и r – расстояние шарика от этого же начала координат. Но так как масса шарика много меньше массы Земли, то начало координат находится очень близко к центру Земли. Так решаются задачи в астрофизике. Например, мы считаем, что Луна вращается вокруг Земли. На самом деле и Земля и Луна вращаются вокруг общего центра тяжести. Но Земля намного тяжелее Луны, поэтому точка (начало неподвижной системы координат) находится где-то внутри Земли. И Земля вращается вокруг этой точки. Например, имеем 2 звезды одинаковой массы. Какая звезда вокруг которой вращается? Центр тяжести этих двух звезд находится точно посередине между звездами. И обе звезды вращаются вокруг этой неподвижной точки.

В приводимой задаче гора только мешает решению задачи. Тем более, что если шарик скатывается с горы, то надо учитывать еще и силу трения шарика о гору. Выкинем гору вообще. Просто поднимем шарик на высоту Н над поверхностью Земли и отпустим без начальной скорости. Тогда шарик будет падать по вертикали на Землю. Причем высота Н в приводимой задаче много меньше радиуса Земли. Иначе потенциальная энергия не будет равна mgH. В общем случае потенциальная энергия П взаимодействия двух тел массами M и m равна (это следует из закона всемирного тяготения Ньютона)

П = -GMm/A, (2)

где А – расстояние между этими двумя телами, G – гравитационная постоянная. В нашей задаче А = R + r – расстояние между шариком и центром Земли. Самое главное для нашей задачи: как следует из формулы (2), потенциальная энергия не принадлежит какому-то одному телу, а принадлежит сразу обоим телам! В нашей задаче высота шарика над поверхностью Земли Н много меньше r. Если шарик пройдет расстояние Н (упадет на поверхность Земли), то изменение потенциальной энергии будет равно Е1 = - GMm/(R + r) + GMm/(R + r – Н). Разложив оба выражения в ряд, получим знакомую формулу Е1 = mgH.

На эту величину изменится потенциальная энергия взаимодействия Земли и шарика, когда шарик упадет на Землю. При этом шарик приобретет некоторую скорость v относительно начала нашей системы координат. Теперь кратко про систему координат, которая движется относительно центра тяжести Земли и шарика с постоянной скоростью. Такие системы координат называются консервативными. В физике доказывается, что все законы механики в консервативных системах не изменяются. Вначале надо решать задачу движения тел в неподвижной системе координат. А если имеется система координат, которая движется с постоянной скоростью v относительно этого центра тяжести (то есть относительно неподвижной системы координат), то просто надо в решении поменять координаты. Все тела в системе тел получат постоянную добавку v к своей скорости движения. А теперь вернемся к вашей задаче. Пусть для большей общности новая система координат движется по отношению к неподвижной с постоянной скоростью Vн. Причем не обязательно, как вы считаете, со скоростью v (Vн = v). Это слишком частный случай, который и запудривает мозги. Напомню, что v – скорость падения шарика на Землю. Тогда в начальной точке, откуда шарик начинает падать на Землю (на высоте Н), полная энергия равна E1 = mgH + m(Vн^2)/2. В точке падения шарика (на поверхности Земли) полная механическая энергия шарика будет равна Е2 = 0 + m(v^2)/2 + m(Vн^2)/2. Полная энергия не должна меняться. То есть Е1 = Е2 или

mgH + m(Vн^2)/2 = m(v^2)/2 + m(Vн^2)/2. (3)

То есть, имеем mgH = m(v^2)/2. (4)

Добавочная энергия m(Vн^2)/2 просто сокращается. Из (4) можно рассчитать скорость падения шарика на Землю (точнее, скорость шарика в этой точке относительно неподвижной системы координат), v = sgrt(2gH), где sgrt – квадратный корень. Вы правильно пишите, что суммарная энергия шарика в верхней точке (до скатывания) равна E = mgH + mvv/2 (смотри левую часть уравнения (3) при Vн = v). Но только здесь v – скорость движения движущейся системы координат относительно неподвижной. А когда шарик достигнет поверхности Земли? Он будет падать относительно Земли (точнее, относительно неподвижной системы координат) тоже со скоростью v. Но относительно подвижной системы координат со скоростью v – v = 0. И высота Н = 0. И суммарная механическая энергия в этот момент времени Е = 0. Создается впечатление, что энергия куда-то исчезает. Да, в этот момент времени энергия шарика исчезает, точнее, становится равной нулю, но (!) это относительно подвижной системы координат. И потенциальная и кинетическая энергии равны нулю. Но это только из-за того, что скорость подвижной системы вы выбрали равной скорости падения шарика на Землю.

И откуда во второй системе отсчета взялась высота горы? Да и g нужно разложить на составляющие. Это будет выглядеть так. Масса Земли стала меньше. Вы прыгаете с парашютом, парашют раскрылся, а вам вслед бросают ядро. Вот его движение вы и будете видеть в системе 2. Не нужно скакать от одной системы отсчета ко второй. В движущемся вагоне поезда на столе лежит шар. Какая энергия шара в системе отсчета вагон? Какая энергия шара относительно земли? Куда исчезает и откуда берется энергия шара? Явное нарушение закона сохранения энергии? Так? А систему отсчета нужно все же выбирать не произвольно, как захочется. Никто не производит расчет движения планет и Солнца относительно Земли, все считается относительно Солнца. Проблем математических меньше и загадок нет, почему планеты петли на небе выписывают?

Я так понимаю, что весь парадокс в следующем: и шарик, и подвижная СК находятся в гравитационном силовом поле (Земли), каждая точка которого имеет свой потенциал. За счет движения СК нам нужно будет делать перенормировку этого силового поля - ведь СК перемещается в нем, следовательно, точка нулевого потенциала также будет смещаться со скоростью V, у подножия горы, когда туда докатится тело, потенциал уже не будет нулевым (СК-то сместилась), значит и потенциальная энергия тела тоже не будет равна нулю.

Энергия осталась в старой системе координат. А в новой системе ее нет! Вот и все. Потому как в новой системе скорость тела, имевшего потенциальную энергия равна нулю. В новой системе координат мы "заморозили" энергию и потому говорить о ней нет смысла.

Задача имеет смысл только в первой системе координат.

какая пурга...

Во-первых кинетическая энергия равна половине массы умноженной на квадрат скорости.

Во-вторых во второй системе нету постоянной скорости v, переменная она как бы вам не хотелось обратного, условия задачи некорректны, выводы кривые.

В общем фигню вы какую -то спрашиваете.

Други мои, внимательнее читайте условие задачи. В подвижной системе отсчета начальная скорость тела равна минус V, а конечная равна нулю. Вот для того, чтобы в подвижной системе отсчета затормозить (или разогнать) тело от скорости минус V до нуля и была потрачена энергия

Согласно закону физики энергия не куда не исчезает, а переходит из одного вида энергии в другой. Следовательно, если не потенциальной и не кинетической энергии нет, то она преобразовалась во внутреннюю.

Если полная векторная энергия шарика равна полной векторной энергии горы то их работа равна нулю как до скатывания так и после. Это связано с отсутствием постоянной системы координат.