Какое время займёт свободное падение от поверхности Земли до её центра?

Задача эта более сложная, чем решение, приведенное в предыдущем ответе. Там ускорение свободного падения g = 9,81 м/(с^2) = const считается постоянным. Но так можно приближенно считать, если расстояние от поверхности Земли до брошенного предмета h много меньше радиуса Земли R = 6371,302 км = 6,371*10^6 м. Куда бы мы предмет не бросали, вверх или вниз в туннель к центру Земли. А чему равно ускорение свободного падения g в глубине Земли? Какая сила действует на предмет, находящийся на расстоянии r от центра Земли? На тело действует только сила той части Земли, которая находится ниже предмета. То есть как будто радиус Земли равен r. Вся оболочка Земли, находящаяся выше чем r никакой силы, действующей на предмет, не создает. Точнее сумма всех сил равна нулю. Нам удобно считать g = 9,81 = const, а ускорение тела на расстоянии r от центра Земли обозначим знакомой буквой а.

Ускорение «а» есть первая производная от скорости движения шарика V, а = dV/dt. Или dV = adt. При а = const после интегрирования получим знакомое выражение для скорости V = V0 + at, где V0 – начальная скорость. Но у нас ускорение «а» зависит от расстояния до центра Земли r

a = g(r/R) (1)

Тогда имеем

dV/dt = a = g(r/R) (2)

Но V = dS/dt, где S – расстояние, пройденное телом, то есть отсчет пути S мы ведем от поверхности Земли. Тогда dV/dt = S”, где S” – вторая производная от S по времени. Уравнение (2) сводится к виду S” = g(r/R). Но нам удобнее отсчитывать расстояние не от поверхности Земли S, а от центра Земли r = R - S. Тогда получим такое дифференциальное уравнения второго порядка для r

r” + r(g/R) = 0 (3)

А это, если вы помните, есть дифференциальное уравнение для колебательного процесса. Математика нам дает, что решением уравнения (3) будет

r = Acoskt + Bsinkt (4)

где А, В и k – некоторые постоянные, причем k = sgrt(g/R). Используем начальное условие, что при t = 0, r = R, А = R и В = 0. Тогда из (3) имеем такой ответ для зависимости расстояния тела от центра Земли от времени.

r = Rcoskt = Rcos[sqrt(g/R)*t] (5)

где r – расстояние от центра Земли. Напомним, что если же отсчитывать расстояние от поверхности Земли у, то решение будет таким

у = Rsinkt = Rsin[sqrt(g/R)*t] (6)

Это решение такое же, как и при колебательном движении математического маятника. Итак, как же движется тело, опущенное в туннель, прорытый насквозь через центр Земли? Оно совершает колебательные движения. Вначале оно падает вниз с ускорением «а». Но, пройдя через центр Земли, начинает подъем к противоположной стороне Земли. Высунувшись наружу с нулевой скоростью, снова падает «вниз» к центру Земли.

Сколько времени тело падает до центра Земли? Если r = R или у = 0, используем уравнения (5) или (6). Из (6) при у = 0 получаем sin[sqrt(g/R)*t] = 0, тогда sqrt(g/R)*t = Пи, где Пи (греческая буква Пи) Пи = 3,14. Отсюда время падения до центра Земли

t = Пи*sqrt(R/g) (7)

Рассчитаем это время падения t = 3,14*sqrt(6371000/9,81) = 3,14* sqrt(649400) = 3,14*805 = 2528 c. Это будет 42 минуты. Итак, тело достигает центра Земли через 42 минуты. Полный период колебаний, когда тело вернется обратно в ту точку, откуда его сбросили вниз, будет равен 168 минут или 2 часа и 48 минут. Так что подождите такое время и тело вернется обратно к вам. Если вы его не успеете схватить, оно снова будет падать в туннель.

Конечно, на самом деле все будет по-другому. Из-за сопротивления воздуха колебания будут затухающими и тело рано или поздно остановиться в центре Земли. Но и это не всё. При бросании тела вниз оно еще имеет скорость поперек тоннеля (параллельно поверхности Земли), равную линейной скорости вращения Земли около поверхности. Так что тоннель пришлось бы рыть криво (а не прямо вниз к центру Земли). Поэтому лучше всего прорыть тоннель от северного полюса к южному полюсу. Но на глубинах от 15 до 35 км - жидкая и горячая магма. Да и земной шар мы считали однородным по плотности. В центре Земли очень тяжелое металлическое ядро радиусом около 3 км. Поэтому точный расчет дает, что вначале тело будет падать с ускорением, а при входе внутрь этого ядра будет двигаться с сильным торможением.