Какие условия существования экстремумов известны?

Mbest4,

мне известно условие из обычной привычной высшей математики.

Оно годится для непрерывных дифференцируемых функций одного переменного.

Для такой функции у=f(x) условием является нуль производной: dy/dx=0, причем

знак её должен меняться при переходе через точку нуля.

Если производная меняет знак с + на -, то имеется локальный максимум и,

соответственно, при смене знака производной с - на + устанавливается минимум.

Если смены знака нет, то нет и экстремума, а есть только точка перегиба

типа как у функции у=х3 при х=0.

У функций двух переменных будет аналогично.

Могут быть экстремумы и другого характера.