Какие существуют позиционные системы счислений?

Начнём с определения: позиционная система счисления — это способ записи чисел, когда значение любой цифры зависит от её позиции, от её положения в числе. Обычно в позиционных системах действует правило: чем левее в числе стои?т цифра, тем больше её значение, и наоборот, чем правее, тем значение цифры меньше. Это позволяет использовать одну и ту же цифру для записи значений любых разрядов, какими бы большими они ни были. В целом позиционная система позволяет использовать минимальное количество цифр для записи любых чисел. Минимум равен двум цифрам (двоичная система), максимум теоретически ничем не ограничен, но на практике позиционные системы с больши?м количеством цифр не применяются. Это крайне неудобно. В этом состоит выгодное преимущество позиционных систем перед иероглифическими системами (например, древнеегипетской, греческой аттической) и алфавитными (например, греческой ионической и старорусской системами записи чисел). В иероглифических и алфавитных системах для записи значений разных разрядов, как правило, используются разные цифры. Например, числа 5, 50 и 500 в подобных системах обозначаются обычно по-разному, с помощью трёх совершенно различных символов.

Как правило, позиционные системы получают своё название следующим образом: за основу берётся число, обозначающее основание системы, и к нему прибавляется суффикс -ичн- или, чаще, -еричн-, плюс окончание -ая. Например, система с основанием два — двоичная, 10 — десятичная, 12 — двенадцатеричная, 60 — шестидесятеричная. И так далее.

Общее правило для количества цифр, используемых в той или иной позиционной системе, таково: в системе с основанием n используется в точности n цифр. А именно, следующие цифры: 0, 1, 2 ... (n – 1).

В настоящее время общепринятой в мире является десятичная позиционная система счисления. Ею пользуемся и мы. Она берёт своё начало с древних времён; полагают, что она возникла из-за того, что у человека на обеих руках имеется всего десять пальцев, соответственно, люди вели счёт именно по ним. Никто не может точно сказать, кто придумал десятичную систему, но первые подтверждённые записи о ней появляются в Индии в 595 году нашей эры. Из Индии цифры десятичной системы пришли к арабам, а от арабов — к европейцам. После этого от европейцев эта система стала применяться и в остальных частях Земли. Во всём мире принято называть цифры арабскими, хотя более правильно называть их индийскими, так как они пришли из Индии. Но и это не абсолютно верное наименование, ведь в Индии цифры тоже достаточно сильно изменились, они не похожи на те, которыми пользуются сейчас повсеместно. В настоящее время применяется около 20 вариантов написания цифр десятичной системы, в первую очередь это зависит от используемой письменности: у арабов цифры свои, у индийцев — совершенно другие, у народностей Юго-Восточной Азии (бирманцы, тайцы, кхмеры и др.) — свои собственные, не похожие на другие. Совершенно особая система имеется у тамилов, они используют особые знаки для чисел "десять", "сто" и "тысяча".

Другой древней системой счисления была пятеричная. Очевидно, племена, использовавшие пятеричную систему, применяли только пять пальцев какой-либо одной руки, например правой.

Некоторые же племена/народы считали немного по-другому: они тоже применяли только одну руку, причём только четыре пальца (от указательного до мизинца). Но при этом они учитывали тот факт, что каждый из этих четырёх пальцев состоит из трёх фаланг. Пересчитывались все эти фаланги с помощью большого пальца той же руки. Говорят, что таким образом появилась двенадцатеричная система счисления.

Общеизвестно, что в современных компьютерах применяются несколько позиционных систем: в первую очередь двоичная, а также восьмеричная и шестнадцатеричная. В двоичной системе применяется рекордно малое число цифр, всего-навсего две: 0 и 1. Она оказалась крайне удобной, так как компьютер было легко научить пользоваться ею (есть ток — применяй символ 1, нет тока — символ 0). Восьмеричная система использует цифры от нуля до семи; шестнадцатеричная — цифры от нуля до девяти и ещё шесть дополнительных цифр: A, B, C, D, E, F (обозначающих в переводе на десятичную систему числа от 10 до 15). Между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами очень просто осуществлять конверсию, то есть не составит труда переводить числа из одной из этих систем в любую другую.

В Древнем Вавилоне применялась своя позиционная система — щестидесятеричная. Основанием её служило число 60. Вот только там было отнюдь не шестьдесят цифр, а всего только три символа: 1) стоячий клин/колышек — обозначал единицу; 2) лежачий клин — обозначал десяток (число 10); 3) символ из двух наклонных клиньев — обозначение для нуля в середине числа. Все прочие числа записывались в виде комбинаций вышеуказанных трёх знаков, например, число 5 = пять стоячих клиньев; 59 = пять лежачих колышков и девять стоячих. Начиная с числа 60, обозначения чисел повторялись (таким образом, один стоячий колышек помимо единицы мог означать также и число 60 и даже число 3600). Нули писались исключительно в середине числа, а вот в конце числа — никогда, поэтому запись в вавилонской системе оказывалась неоднозначной, и часто о значении чисел надо было просто догадываться. Остатки вавилонской системы сохранились до сих пор: это деление часа на 60 минут и на 3600 секунд, а также деление градуса (углового) тоже на 60 минут и на 3600 секунд.

Совершенно особая, уникальная позиционная система записи чисел была у индейцев племени майя, обитающих в Центральной Америке, примерно на территории полуострова Юкатан (ныне принадлежит Мексике). Это была "искажённая" двадцатеричная система счисления. Её основаниями были числа: 20, 18*20 (=360), 18*20^2 (=7200) и так далее. Для записи чисел использовалось всего три символа: 1) точка — обозначала число 1; 2) горизонтальная линия — обозначала число 5; 3) полуоткрытый глаз или ракушка — обозначала ноль. Числа от 1 до 19 обозначались комбинациями горизонтальных линий и точек, причём первые имели приоритет над вторыми, а записывалось число снизу вверх (например, число 19 = три линии снизу, одна над другой, и четыре точки вверху). Все более крупные числа записывались этажами снизу вверх: нижний этаж обозначал единицы, второй снизу — двадцатки, третий — 360-ки и так далее. Между этажами обычно оставляли пробел, пустой промежуток. Отсутствие единиц в определённом этаже отмечалось символом для нуля, похожим на ракушку.

двоичная, восьмеричная, десятиричная, шестнадцатиричная