Какие корни у уравнения tg x = tg 3x * tg 5x * tg 7x при -pi/14< x<+pi/14?

Для того, чтобы снять все вопросы про количество корней >1

То, то х=0 есть единственное решение, доказывается аналитически без Вольфрама и Экселя. Просто ВНИМАТЕЛЬНО прочитайте задачку: найти корни надо не на промежутке от 0 до 90, а на промежутке от -пи/14 до +пи/14. Где и левая, и правая часть уравнения есть монотонные функции. Что интересно, и производные от обеих частей тоже функции монотонные (надеюсь, взять производные от обеих частей струда не составит). А стало быть, правая часть на рассматриваемом промежутке растёт по абсолютной величине быстрее, чем левая. То есть расхождение между ними по мере удаления от точки х=0 будет только нарастать.

Ну а что там делается вне указанного промежутка - по фигу.

На первый взгляд, не решая, ответ единственный и очевидный: x = 0

И Вольфрам Альфа это подтверждает, ближайшие к 0 корни: +-pi/4 и +-3pi/4, не попадают в промежуток (-pi/14; pi/14).

Вначале все тангенсы превращаем в синусы-косинусы. Синус и косинус 3х расписываем по формуле тройного угла

sin x / cos x = [sin x (3 - 4 sin^2 x) / (cos x (4 cos^2 x - 3))] *(sin 5x sin 7x)/(cos 5x cos 7x)

сокращаем на sin x / cos x, при этом не забываем про корень sin x = 0 => x = pi m

произведения функций 5х и 7х преобразовываем в соответствующие суммы

1 = [ (3 - 4 sin^2 x) / (4 cos^2 x - 3)] *[(cos 2 x - cos 12x)/(cos 2x + cos 12 x)]

квадраты синуса и косинуса икс выражаем через cos 2x

1 = [(1 + 2 cos 2x)/(2 cos 2x - 1) ]*[(cos 2 x - cos 12x)/(cos 2x + cos 12 x)]

(cos 2x - 1/2) / (cos 2x + 1/2) = (cos 2 x - cos 12x)/(cos 2x + cos 12 x)

приводим к общему знаменателю

cos^2 2x - 1/2 cos 2x - 1/2 cos 12 x + cos 2x cos 12 x = cos^2 2x - cos 2x cos 12 x + 1/2 cos 2x - 1/2 cos 12 x

собираем подобные члены

2 cos 2x cos 12 x = cos 2x

обнаруживаем корни

cos 2x = 0 => 2x = +- pi/2 + 2 pi m => x = pi/4 + pi n

cos 12 x = 1/2 => 12 x = +-pi/3 + 2 pi m => x = +- pi/36 + pi k / 12