Как вычислить зашифрованное учителем число?

Мои рассуждения таковы.

Из системы путем сложения

x - y + z - w = 1

x + y - z + w = 11 находим

2 * x = 12

x = 6

Подставим во второе уравнение: 6 + y - z + w = 11, откуда y = 5 + z - w

Подставим x и y в третье выражение: 6 * (5 + z - w) - z * w = 42

6 * z - 6 * w - z * w = 12, откуда z = (12 + 6 * w) / (6 - w)

Учитывая, что z - цифра, т.е. меньше 10, получим:

12 + 6 * w < 60 - 10 * w, откуда

16 * w < 48, т.е. w = 1 или w = 2

При w = 0 получим 6 * z = 12, z = 2, y = 5 + 2 - 0 = 7. Получается число xyzw 5720 - двух цифр одинаковых нет, значит решение неправильное.

При w = 1 получим: 6 * z - 6 - z = 12, откуда 5 * z = 18, z - не целое, корнем быть не может.

При w = 2 получим: 6 * z - 12 - 2 * z = 12, откуда 4 * z = 24, z = 6, y = 5 + 6 - 2 = 9.

Итоговое решение: 6962

В системе три уравнения и четыре неизвестных. Она классически не решаема. Не хотелось бы прибегать к численным методам или использовать ее "слабинку". Попробую решить ее логически от начала до конца, для того что бы иметь гарантию, что полученный ответ единственный.

x-y+z-w=1 (1)

x+y-z+w=11 (2)

x*y-z*w=42 (3)

Условие задачи: x,y,z,w-- целые и положительные числа от 0 до 9 (4)

Сложим ур.(1) и (2). Получим х=6

Подставим х=6 в ур.(2) и (3)

y-z+w=5 (5.1)

6*у-z*w=42 (5.2)

Дальше тупик. Но если мы выясним каких два числа равны, то избавимся от одной переменной и получим решаемую систему.

Запишем уравнение (1) в двух разных вариантах.

(x-y)+(z-w)=1 (6)

(x-w)+(z-y)=1 (7)

Составим условия для ур.(3)

x*y-z*w=42 (3)

x*y>=42 отсюда y>=7 (8)

Если x=w отсюда y>z (9)

Если x=z отсюда y>w (10)

Определяем какие числа одинаковы.

Из ур.(3) если х=у=6 то нарушается условие (8)

Из ур.(6) если z=w то y

Из ур.(7) если x=w то z>y н.у.(9)

Из ур.(5.2) если y=z Заменим "z" на "у", отсюда y=7-42/w Из условия (4) "w" может быть 6 или 7. Получим "у" равно нулю или единице. н.у.(8)

Из ур.(5.2) если y=w Получим запись аналогичную предыдущей y=0 или y=1 н.у.(8)

Из ур.(3) если x=z Заменим "z" на "х", а затем "х" на 6.Отсюда y-w=7, далее y>w и y>=7. Выполнено условие (8) и (10).

А это значит что х=6=z

Подставляем значение z=6 в ур. (5.1) и (5.2). Получим w=2

Опять подставляем z=6 и w=2 в ур.(5.1). Получим у=9

Окончательный и единственный ответ 6962

Для тех кто в этом может усомниться, предоставлю графическую интерпретацию.

Ватсон, это же элементарно!

Боже, вычисления на уровне 7 класса. Сплошные линейные уравнения.

1 и 2 уравнение решаем как систему, методом алгебраического сложения. В итоге X и W = 6, при условии, что цифры одинаковые. А дальше еще проще. Домножаем 1 уравнение на -1 и выражаем Y. Затем находим W.

Нечего сложного, главное думать головой!