Как у фотонов и электронов определили свойства как частиц, так и волн?

Как и все остальные свойства: экспериментально. Точнее - анализируя результаты различных экспериментов.

Волновые свойства света были известны ещё со времен Ньютона (которого почему-то считают приверженцем корпускулярной природы света), и окончательно утвердились трудами Гюйгенса и Френеля. А после появления уравнений Максвела под этими представлениями появилась и теоретически база. И всё бы было замечательно, если б не законы излучения абсолютно чёрного тела и законы фотоэффекта. Вот никак не удавалось описать спектр излучения и уже открытые к тому времени закон Вина и закон Стефана-Больцмана, исходя из волновой природы света. И никак не удавалось объяснить не только существования красной границы фотоэффекта, но и -что важнее - независимости энергии вылетающих фотоэлектронов от интенсивности света. Фототок да, зависел, а вот энергия электронов - нет. А от длины волны - зависела.

Проблему излучения чёрного тела удалось преодолеть только тогда, когда Планк предположил дискретный характер излучения и поглощения света - то есть передачу электромагнитной энергии отдельными порциями. Квантами. Это предположение позволило ему вывести формулу спектральной плотности излучения, прекрасно согласующуюся с экспериментальными данными. И из этой же формулы выводились и все остальные законы излучения.

Однако сам Планк считал кванты не более чем математическим приёмом, а не физической реальностью. В реальность кванты превратил Эйнштейн, объяснив ими фотоэффект. Кстати, именно за это - за объяснение природы фотоэффекта и законов фотоэффекта квантовой природой света - ему и дали Нобелевскую премию.

Вскоре после этого, в процессе изучения строения атома и становления квантовой механики, де Бройль высказал казавшуюся сумасшествием идею о том, что корпускулярно-волновой дуализм есть универсальный свойство материи. И что любой объект может вести себя и как волна, и как частица. И таки да, в конце двадцатых на опых с дифракцией электронов - единичных электронов! - Томсону и Дэвиссону независимо друг от друга удалось показать, что они точно так же образуют дифракционную картину, как и световые волны (за что и они получили Нобелевскую премию). Подзднее была экспериментально доказано дифракция и нейтронов, и протонов.

Эксперимент Дэвиссона заключался в том, что пучок электронов определённой энергии (которая задавалась ускоряющим напряжением в системе) направлялся на монокристалл никеля, который служил своего рода дифракционной решёткой, перпендикулярно его поверхности. Поток электронов, отражённый под определённым углом, измерялся с помощью цилиндра Фарадея (ну типа как маленькое окошечко, которое улавливало только электроны, отражённые под определённым углом). И в результате была обнаружена угловая зависимость интенсивности отражённых электронов, в точности совпадающая с таковой для случая дифракционной решётки. То есть поток электронов вёл себя как монохроматическая волна.

В опытах Томсона использовалась другая методика и электроны более высоких энергий. Опыт шёл не на отражение, а не просвет, поэтому приходилось брать электроны более высоких энергий (десятки кэв). И вместо монокристалла брали тончайшую - десятки нанометров - поликристаллическую пластинку. В этом опыте дифракционная картина представляла собой концентрические окружности (если б не было дифракции, картина была бы сплошной, близкой к гауссову распределению).

Вот так и определили. Путём хитроумных экспериментов...