Как с помощью линейки в квадрате построить в три раза меньший квадрат?

Привожу решение при условии возможности делания засечек на линейке

для упрощения обозначим квадрат АБВГ начиная с верхнего левого угла по часовой. Рисовать лень попробую на пальцах.

Если использовать двустороннюю линейку, то продлеваем сторону АГ вверх, далее к стороне АБ кладем линейку и чертим прямую параллельную АБ - АБ1, прикладываем к АБ1 линейку и чертим АБ2 получаем точку пересечения линий АГ и АБ2 из нее проводим линию к углу Б. Получившийся на линии АБ1 отрезок как средняя линия треугольника равна половине основания т.е. половине стороне квадрата. Делаем на линейке засечку и откладываем на всех сторонах квадрата этот отрезок, получая середины сторон. Далее из каждого угла квадрата к центрам противоположных сторон проводим линии всего 8 штук. Точки пересечений этих линий будут вершинами малого квадрата (доказательства не привожу, но доказывается подобием фигур и отрезков).

односторонняя линейка - суть построения сводится к тому же только для получения отрезка равного половине стороны большого квадрата на линии АГ откладываем два равных отрезка произвольной величины. Равность отрезков обеспечивается засечкой на линейке.

Найти середину стороны квадрата можно еще одним способом. Достроив еще один квадрат с любой стороны и проведя диагональ в получившимся прямоугольнике, состоящем из двух квадратов

Авторское построение односторонней линейкой. Пусть в исходном квадрате ABCD точками S1 и S2 отмечены середины противоположных сторон. Проведем в квадрате диагонали, а точки S1 и S2 соединим отрезками с противолежащими углами. Точки пересечений этих линий образуют искомый квадрат (левый рисунок).

Но вот незадача, пользуясь исключительно линейкой нельзя разделить отрезок пополам. Однако эта и другие задачи могут оказаться разрешимыми односторонней линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомогательная геометрическая фигура. В нашем случае, достаточно иметь дополнительно прямую линию параллельную отрезку. Воспользуемся леммой о трапеции: «Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолженных ее боковых сторон, делит оба основания трапеции пополам».

Возьмем произвольно точку Т вне квадрата и проведем прямые ТА и ТВ (правый рисунок). Обозначим точками К и N их пересечения с стороной квадрата DC. Соединим точку Т с точкой пересечения прямых КВ и NА. Тогда согласно лемме, прямая ТS? пересекает сторону квадрата АВ в его середине. Линия, проведенная через точку S? и точку пересечения диагоналей квадрата, делит его противоположную сторону пополам в точке S?.