Как решить уравнение по математике?

Надо же! 8 человек пытались отвечать, и ни один не сумел решить простенькое тригонометрическое уравнение. До чего докатилось наше образование?

sin(2*x)=sin(x)+cos(x)-1, (аргумент любой функции лучше брать в скобки, тогда не будет неоднозначных записей. Кроме того, я не опускаю (не пропускаю) как обычно принято в алгебре знак умножения, но если Вы не хотите его писать, то можете не писать.)

2*sin(x)*cos(x)+1-sin(x)-cos(x)=0,

2*sin(x)*cos(x)+sin^2(x)+cos^2(x)-sin(x)-cos(x)=0,

((sin(x)+cos(x))^2-(sin(x)+cos(x)=0,

(sin(x)+cos(x))^2-(sin(x)+cos(x))=0,

Заменим sin(x)+cos(x)=y,

Получаем: y^2-y=0

y*(y-1)=0,

Два решения: y=0 и y=1.

Делаем обратную замену:

Первая серия решений:

sin(x)+cos(x)=0, показываем, что ни sin(x)=/=0, ни cos(x)=/=0, тогда можем разделить обе части уравнения либо на sin(x), либо на cos(x), получаем:

tg(x)+1=0,

tg(x)=-1,

x(1)=-Пи/4+Пи*k, где k - любое целое число.

Вторая серия решений:

sin(x)+cos(x)=1,

sin(x)+cos(x)-1=0,

sin(x)-(1-cos(x))=0,

2*sin(x/2)*cos(x/2)-2*sin^2(x/2)=0,

2*sin(x/2)*(cos(x/2)-sin(x/2))=0,

Уравнение распадается на два уравнения:

2*sin(x/2)=0, откуда х/2=Пи*m, и х(2)=2*Пи*m, где m - любое целое число

и cos(x/2)-sin(x/2)=0, откуда tg(x/2)=1, x/2=Пи/4+Пи*c, х(3)=Пи/2+2*Пи*с, где с- любое целое число.

Итак:

x(1)=-Пи/4+Пи*k, где k - любое целое число,

х(2)=2*Пи*m, где m - любое целое число,

х(3)=Пи/2+2*Пи*с, где с- любое целое число.

Для разных х любое целое число обозначено разными буквами, так как они между собой никак не связаны и независимы друг от друга.

Что касается неравенства, то многие решили его правильно: x > -11/18.

Предлагаю вариант решения уравнения.

Применяете формулу двойного угла sin2x=2sinx*cosx и известное тождество 1=sin?x+cos?x.

2sinx*cosx+sin?x+cos?x=sinx+cosx.

Слева формула квадрата суммы, заменяем и получаем:

(sinx+cosx)?=sinx+cosx.

Делим обе части уравнения на (sinx+cosx) и получаем:

sinx+cosx=1;

Заменяем из известного тождества sinx=v(1-cos?x) и получаем:

v(1-cos?x)+cosx=1;

v(1-cos?x)=1-cosx;

1-cos?x=(1-cosx)?;

1-cos?x-1+2cosx-cos?x=0;

cos?x-2cosx=0;

cosx(cosx-2)=0;

cosx=0 или cosx=2.

В первом случае x=?/2+2?n; во втором случае уравнение не имеет решения, т. к. косинус не может быть больше 1.

Ответ. x=?/2+2?n

Неравенство решается так.

6(x-1)+4(x+2) > -9(x+1)+x;

6x-6+4x+8+9x+9-x>0;

18x+11>0;

x>-11/18.

Ответ. x €(-11/18;+?).

Примечание. € означает «принадлежит» (более подходящего символа не нашла).

Я решала уравнение так.

Ввела новую переменную t=sinx+cosx, что в результате преобразований (не буду их повторять, они приведены некоторыми другими авторами ответов) приводит к квадратному уравнению t^2-t=0<=>t(t-1)=0<=>t=0 или t=1.

Применяю формулу преобразования суммы тригометрических функций sinx+cosx=V2*cos(pi/4-x).

Нужно теперь решить два уравнения:

cos(pi/4-x)=0 и cos(pi/4-x)=1/V2.

Первое уравнение имеет множество решений x=pi/4+-arccos0+2pi*n;

Второе уравнение имеет множество решений x=pi/4+-arccos(1/V2)+2pi*n.

Таким образом, решения исходного уравнения: х1=2pi*n, x2=-pi/4+pi*n, x3=pi/2+2pi*n, где n принадлежит множеству целых чисел.

Славеньтий,

неравенство вам решают правильно, а в решениях уравнения - ошибки.

sin2x=sinx+cosx-1 , перенесем 1 в левую часть уравнения:

sin2x+1=sinx+cosx , и возведем обе части уравнения в квадрат и получим, учитывая, что sin2x=2sinx*cosx

(sin2x)2+2sin2x+1=1+sin2x , обозначим sin2x через у, тогда получаем:

у2-у=0 , откуда

у1=0 , sin2x1=0 , 2х1=П*к , х1=П*к/2

у2=1 , sin2x2=1 , 2х2=П/2+2П*к , х2=П/4+П*к

Уравнение:

sin2x=sinx+cosx-1

Раскрываем синус двойного угла по формуле:

2sinx*cosx - sinx=cosx-1

sinx*(cosx-1)= cosx-1

1/ cosx-1 = 0

Тогда cosx=1, х =2 pi k

2/ cosx-1 не равен 0

Тогда сокращаем обе части уравнения на (cosx-1):

sinx=1

х=pi/2 + 2 pi k

Неравенство

6(x-1)+4(x+2) > -9(x+1)+x

6x-6+4x+8 > -9x-9+x

10x+2>-8x-9

18x > -11

x>-11/18

-4(х+2)+3(х-1)-2=5(х-2)+6

-4х-8+3х-3-2=5х-10+6

-6х=9

х=-9/6=-3/2=-1,5

Ответ: х=-1,5.

По формуле синуса двойного угла Sin2x = 2Sinx*Cosx. Обозначим Sinx=a Cosx= b, тогда 2a*b=a+b-1 или 2ab+1=a+b. (Sinx)^2+(Cosx)^2=1 или a^2+b^2=1. После подстановки этого выражения вместо 1 получим 2ab+a^2+b^2=a+b или (a+b)^2=a+b и после сокращения имеем a+b=1, следовательно Sin2x=1-1=0 и ответ x=0.

6(x-1)+4(x+2) > -9(x+1)+x

6x-6+4x+8>-9x-9+x

10x+2>-8x-9

18x>-11 /18

x>-11/18

x>-0.61

sin2x=sinx+cosx-1

Неравенство, а может так?

6х-6+4х+8>-9х-9+х

10х+2>-8х-9

10х+8х>-2-9

18х>-11

х=11/18